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日志

抗体清除病毒的简单模型

热度 2已有 884 次阅读2022-4-22 07:34 |个人分类:科普|系统分类:科技

微信中讨论到一个问题。HIV 病毒是通过与人体内 T4 细胞的受体(receptor)结合,然后进入 T4 细胞,将自己的基因插入T4细胞的基因组,T4细胞再产生新的病毒。没有受体,病毒是很难穿过细胞膜进入细胞的。问题是能否用游离的受体(或者说抗体-anitbody)与病毒结合,使它无法进入细胞,而达到清除病毒的效果呢?

下面是一个简单的模型。感染细胞数量 N 取决于游离病毒数量 V, 以及细胞死亡速度;游离病毒数量V 取决于感染细胞数量 N 与抗体数量 R (这里我们假定R为一个常数)。

由此我们有两个一阶线性微分方程:

$d N /dt = a V - b N$

这是说单位时间内新增感染细胞的数量一方面因为游离病毒感染而增加(这部分正比于病毒数量 V),另一方面因为感染细胞死亡而减少(这部分正比于被感染细胞数量)。a,b 为参数,实验确定。

$dV/dt = c N - r V$

这是说 游离病毒的增率有两个贡献,一是感染细胞产生新病毒,二是抗体中和游离病毒。c, r 均为参数,r 取决于抗体数量与抗体与病毒结合的亲和度。

怎么解这一对一阶方程组?引入微分符号 $D = d/dt$ ,上面的方程组可以写为

$(D +b) N - a V =0$
$-c N + (D+r) V =0$

消去 V,我们有

$(D+r)(D+b) N - a c N =0$

展开得到 

$D^2 N + (b+r) D N + ( r b - a c) N =0$

这是一个典型的二阶线性方程,代入试解  $N = C\ e^{L t}$,得到 
 $L ^2 + (b+r) L + ( r b - a c) =0$
 
套用一元二次方程公式

$L=\frac{-b-r\ \pm\ \sqrt{(b+r)^2 - 4 (r b -a c)} }{2}$

我们先对结果进行一下“神志检查”(sanity check)。如果病毒感染力为零,也就是 a =0,那么 L <= 0 ,没错。类似的,如果病毒再生力为零,也就是 c =0 ,那么 L 也小于等于零,没错。这两种情况下,$L=\frac{-b-r\ \pm\ \sqrt{(b+r)^2 - 4 r b } }{2} = \frac{-b-r\ \pm\ \sqrt{(b-r)^2 } }{2} = \frac{-b-r\ \pm\ (b-r) }{2}$,都是小于等于零的。另外我们看到 L 公式中平方根符号内的数总是大于等于零的,$(b+r)^2 - 4 (r b -a c) = (b-r)^2 + 4ac$, 这说明 N的变化不会出现震荡的情况。

从上面可以看出,当 r b 大于 a c 时,N 将指数衰减。也就是说,感染的细胞数量指数衰减。这个关系可以写成 r/a > c/b ,其含义是抗体中和病毒的速度与病毒感染细胞的速度比 > 被感染细胞产生新病毒与细胞死亡速度的比。反过来,如果  r b 小于 a c,则 L >0, 感染细胞数量将指数上升。

假如感染细胞寿命很长( b --> 0),而 r >> ac,  $L^{+}=\frac{-r\ + \ \sqrt{r^2 + 4a c} }{2} = \frac{-r\ +\ r \sqrt{1 + 4a c/r^2} }{2}\approx 2 a c/r$, 感染细胞数量随时间的变化为$e^{2 a ct/r}$。这也就是说,在感染细胞寿命很长的情况下,无论有多少抗体,感染细胞数量也会指数上升,但这个上升指数与抗体数量成反比,抗体也还是有用的。

上面 a, b, c 等参数对于一个个体来说可能是比较难以调节的,但 r 取决于抗体数量以及抗体与病毒的亲和度,这是可控的。以上的模型对于新冠病毒感染也是类似。所以,当初川普感染新冠之初打了几瓶抗体就没事了,完全有数学依据,只是那种治疗相当的昂贵。要一劳永逸。可以考虑在人体体细胞基因组里插入一段基因,不断产生抗体蛋白。



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